浮点数存储与计算
1. 浮点数的基本概念
浮点数是一种用于近似表示实数的计算机数据类型，它们可以表示非常大或非常小的数字，并且可以包含小数部分，在计算机科学中，浮点数通常遵循IEEE 754标准，该标准定义了浮点数的格式和运算规则。
2. IEEE 754标准
IEEE 754标准定义了四种不同的浮点数格式：单精度（32位）、双精度（64位）、扩展精度（79-112位）和半精度（16位），这些格式都包括三个部分：符号位、指数位和尾数位。
| 格式 | 位数 | 符号位 | 指数位 | 尾数位 |
| 单精度 | 32 | 1 | 8 | 23 |
| 双精度 | 64 | 1 | 11 | 52 |
| 扩展精度 | 79-112 | 1 | 15-20 | 63-96 |
| 半精度 | 16 | 1 | 5 | 10 |
3. 浮点数的存储方式
浮点数的存储方式取决于其格式，以单精度浮点数为例，其存储方式如下：
符号位：1位，用于表示正负号，0表示正数，1表示负数。
指数位：8位，用于表示指数的大小，指数采用偏移量表示法，偏移量为$2^{(k-1)} 1$，其中k为指数位的数量，对于单精度浮点数，偏移量为$2^{8-1} 1 = 127$。
尾数位：23位，用于表示有效数字，尾数采用规格化的形式存储，即第一个非零数字始终为1（这个1是隐含的，不存储在尾数位中）。
对于十进制数-5.75，其二进制表示为$-101.11_2$，将其转换为规格化形式，得到$-1.0111_2 times 2^2$，将指数加上偏移量，得到$2 + 127 = 129$，即二进制的10000001，将尾数部分填充到23位，得到01111111111111111111100。-5.75的单精度浮点数表示为：
符号位 | 指数位 | 尾数位 1 | 10000001(129) | 01111111111111111111100
4. 浮点数的计算误差
由于浮点数的存储方式，它们无法精确表示所有的实数，这导致在进行浮点数运算时，可能会出现舍入误差，考虑以下简单的加法运算：
>>> 0.1 + 0.2 0、30000000000000004
在这个例子中，0.1和0.2都是无限循环小数，无法用有限的二进制位数精确表示，当它们相加时，结果并不等于0.3，而是接近于0.3的一个近似值。
5. 浮点数的比较
由于浮点数存在计算误差，直接比较两个浮点数是否相等通常是不可靠的，相反，应该检查两个浮点数之间的差是否小于某个很小的阈值（称为epsilon），如果差小于epsilon，则可以认为这两个浮点数是相等的。
def float_equal(a, b, epsilon=1e-9):
return abs(a b) < epsilon
相关问题与解答
问题1：为什么浮点数不能精确表示所有的实数？
答：浮点数不能精确表示所有的实数，因为它们使用有限的位数来存储指数和尾数，这意味着只有某些特定的实数才能被精确表示为浮点数，其他实数只能通过舍入到最接近的可表示值来近似，这种舍入导致了计算误差。
问题2：如何避免浮点数计算中的误差累积？
答：为了避免浮点数计算中的误差累积，可以采取以下措施：
尽量减少不必要的浮点数运算，可以通过重构算法来减少运算次数。
使用更高精度的数据类型进行中间计算，然后在必要时降低精度，可以使用Python中的decimal模块来进行高精度计算。
在进行比较时使用一个小的阈值（epsilon），而不是直接比较两个浮点数是否相等，这样可以容忍微小的计算误差。
小伙伴们，上文介绍了“float类型存储”的内容，你了解清楚吗？希望对你有所帮助，任何问题可以给我留言，让我们下期再见吧。
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